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「1から5の倍数、または5の倍数より1少ない数の累積値は5の倍数となる」を数学的に証明してみた

先日、子どもと足し算ゲームをやっていました。
1から順番に「1+2=3, 3+3=6, 6+4=10・・・」といった感じで累積していく計算クイズです。
一緒にやっていると、途中である規則性に気付きました。

1 - 1
2 - 3
3 - 6
4 - 10
5 - 15
6 - 21
7 - 28
8 - 36
9 - 45
10 - 55
11 - 66
12 - 78
13 - 91
14 - 105
15 - 120
16 - 136
17 - 153
18 - 171
19 - 190
20 - 210
21 - 231
22 - 253
23 - 276
24 - 300
25 - 325
26 - 351
27 - 378
28 - 406
29 - 435
30 - 465


上の表を見てもらえば分かるように、5の倍数とその一つ手前の数は累積した値が必ず5の倍数になっています。
抜粋するとこんな感じです。

4 - 10
5 - 15
9 - 45
10 - 55
14 - 105
15 - 120
19 - 190
20 - 210
24 - 300
25 - 325
29 - 435
30 - 465


なんかとても興味深かったので、単なる偶然ではないことを数学的に証明できるかどうか挑戦してみました。

1からnまでの整数の和は以下の式で表される。(証明略)

1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2

nが5の倍数の場合、n = 5aと表せるので、

n(n + 1)/2 = 5a(5a + 1)/2

となる。
5a(5a + 1)は隣り合う数の積なので、5の倍数かつ偶数となり、2で割り切れる。
よってnが5の倍数であれば、1からnまでの和は必ず5の倍数となる。

一方、nが5の倍数より1少ない数である場合、n = 5a - 1と表せるので、

n(n + 1)/2 = (5a - 1)(5a - 1 + 1)/2 
           = 5a(5a - 1)/2

となる。
5a(5a - 1)は隣り合う数の積なので、5の倍数かつ偶数となり、2で割り切れる。
よってnが5の倍数より1少ない数であれば、1からnまでの和は必ず5の倍数となる。


おお、ちゃんと証明できましたね!!

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