先日、子どもと足し算ゲームをやっていました。
1から順番に「1+2=3, 3+3=6, 6+4=10・・・」といった感じで累積していく計算クイズです。
一緒にやっていると、途中である規則性に気付きました。
1 - 1 2 - 3 3 - 6 4 - 10 5 - 15 6 - 21 7 - 28 8 - 36 9 - 45 10 - 55 11 - 66 12 - 78 13 - 91 14 - 105 15 - 120 16 - 136 17 - 153 18 - 171 19 - 190 20 - 210 21 - 231 22 - 253 23 - 276 24 - 300 25 - 325 26 - 351 27 - 378 28 - 406 29 - 435 30 - 465
上の表を見てもらえば分かるように、5の倍数とその一つ手前の数は累積した値が必ず5の倍数になっています。
抜粋するとこんな感じです。
4 - 10 5 - 15 9 - 45 10 - 55 14 - 105 15 - 120 19 - 190 20 - 210 24 - 300 25 - 325 29 - 435 30 - 465
なんかとても興味深かったので、単なる偶然ではないことを数学的に証明できるかどうか挑戦してみました。
1からnまでの整数の和は以下の式で表される。(証明略)
1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2
nが5の倍数の場合、n = 5aと表せるので、
n(n + 1)/2 = 5a(5a + 1)/2
となる。
5a(5a + 1)は隣り合う数の積なので、5の倍数かつ偶数となり、2で割り切れる。
よってnが5の倍数であれば、1からnまでの和は必ず5の倍数となる。
一方、nが5の倍数より1少ない数である場合、n = 5a - 1と表せるので、
n(n + 1)/2 = (5a - 1)(5a - 1 + 1)/2
= 5a(5a - 1)/2
となる。
5a(5a - 1)は隣り合う数の積なので、5の倍数かつ偶数となり、2で割り切れる。
よってnが5の倍数より1少ない数であれば、1からnまでの和は必ず5の倍数となる。
おお、ちゃんと証明できましたね！！
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