2桁×1桁のゴースト暗算の証明に挑戦してみた

http://zasshi.news.yahoo.co.jp/article?a=20120425-00000001-president-bus_all

へぇ～。面白い！これって数学的に証明できるんですか？/東大医学部生が考案した「ゴースト暗算」が話題沸騰！（プレジデント） - Y!ニュース http://t.co/TRmBTsod
— Junichi Ito (伊藤淳一) (@jnchito) April 25, 2012

このネタが気になったので、2桁×1桁の暗算手順を数学的に一般化できるかどうか、自分で証明してみることにしました。

2桁×1桁のゴースト暗算の例として


48*7 = 336


を取り上げる。


「48*7 = 336」は以下のように分解できる。


48*7 = 10*33 + 6
48*7 = 10*(28 + 5) + 6
(10*4 + 8)*7 = 10*(10*2 + 8 + 5) + 6


左辺でa = 4, b = 8, c = 7、右辺でp = 2, q = 8, r = 5, s = 6とすると、以下のように一般化できる。


(10a + b)c = 10(10p + q + r) + s ---(1)


4*7 = 28
8*7 = 56
であることから、それぞれ


ac = 10p + q --(2)
bc = 10r + s --(3)


となる。

ここで(1)の左辺について(2),(3)を代入すると


(10a + b)c = 10ac + bc
           = 10(10p + q) + (10r + s)
           = 100p + 10q + 10r + s
           = 10(10p + q + r) + s


これは(1)の右辺に等しい。


よって2桁×1桁のゴースト暗算は一般化できる。

数学の証明問題なんて高校以来なので約20年ぶりですが、こんなんであってますか？？

何はともあれ、この暗算方法は他の数字の組み合わせについても一般化できそうです。
なんかスッキリ！